Информация о задаче

Задача 52677

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
Темы:	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Прямая, перпендикулярная двум сторонам параллелограмма, делит его на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Найдите острый угол параллелограмма, если его стороны равны a и b (a < b).

Подсказка

Полученные трапеции равны между собой. Пусть точка касания делит сторону, равную a, на отрезки x и y. Тогда радиус каждой окружности равен $\sqrt{xy}$ .

Решение

Полученные трапеции равны между собой. Точка касания меньшей стороны параллелограмма делит эту сторону на отрезки с длинами x и y, (x + y = a). Тогда радиус окружности равен $\sqrt{xy}$ , высота параллелограмма равна 2 $\sqrt{xy}$ , большая сторона равна b = y + 2 $\sqrt{xy}$ + x. Тогда

sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{xy}}{x + y}}$ = $\displaystyle {\frac{b - a}{a}}$ ,

где $\alpha$ — искомый угол.

Ответ

arcsin $\left(\vphantom{\frac{b}{a} - 1}\right.$ ${\frac{b}{a}}$ - 1 $\left.\vphantom{\frac{b}{a} - 1}\right)$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	342