Задача 52688

Темы:    [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Периметр треугольника ABC равен 8. В треугольник вписана окружность и к ней проведена касательная, параллельная стороне AB. Отрезок этой касательной, заключённый между сторонами AC и CB, равен 1. Найдите сторону AB.

Подсказка

Отсечённый треугольник подобен данному с коэффициентом, равным отношению их периметров.

Решение

  Обозначим точки пересечения касательной со сторонами AC и CB через M и N, а точки касания этих сторон с вписанной окружностью – через P и Q. Тогда полупериметр треугольника CMN равен  CP = CQ = 4 – AB.
  Из подобия треугольников CMN и CAB следует, что  ^MN/_AB = ¼ (4 – AB),  или  ¹/_AB = 1 – ^AB/₄.  Отсюда  AB = 2.

Ответ

2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	353