Информация о задаче

Задача 52690

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность радиуса 1 вписана в треугольник ABC, в котором cos $\angle$ B = 0, 8. Эта окружность касается средней линии треугольника ABC, параллельной стороне AC. Найдите сторону AC.

Подсказка

Расстояние от вершины треугольника до ближайшей точки касания с вписанной окружностью равно разности полупериметра и противолежащей стороны.

Решение

Пусть O центр вписанной окружности, K — её точка касания со стороной AB. Тогда

tg $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ B = $\displaystyle {\frac{\sin \angle B}{1+\cos \angle B}}$ = $\displaystyle {\frac{0,6}{1 + 0,8}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ .

Поэтому

BK = $\displaystyle {\frac{OK}{{\rm tg }\frac{1}{2}\angle B}}$ = 3.

С другой стороны, отрезок BK равен полупериметру отсеченного треугольника, который подобен данному с коэффициентом ${\frac{1}{2}}$ . Поэтому полупериметр данного треугольника равен 6. Следовательно, AC = 6 - BK = 3.

Ответ

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	355