Информация о задаче

Задача 52691

Темы:	[	Признаки и свойства касательной	]
Темы:	[	Углы между биссектрисами	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Прямые PA и PB касаются окружности с центром O (A и B — точки касания). Проведена третья касательная к окружности, пересекающая прямые PA и PB в точках X и Y. Докажите, что величина угла XOY не зависит от выбора третьей касательной.

Подсказка

Угол между радиусами, проведёнными в точки касания, дополняет угол между касательными до 180^o.

Решение

Обозначим $\angle$ APB = $\alpha$ . Пусть M — точка касания окружности с прямой XY. Тогда

$\displaystyle \angle$ XOY = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ AOM + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ BOM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \angle$ AOM + $\displaystyle \angle$ BOM) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ AOB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (180^o - $\displaystyle \alpha$ ) = 90^o - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	356