Задача 52705

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Общая касательная к двум окружностям ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке A. Найдите радиусы окружностей, если хорды, соединяющие точку A с точками касания с одной из общих внешних касательных, равны 6 и 8.

Подсказка

Опустите перпендикуляр из центра одной из окружностей на соответствующую хорду и рассмотрите получившиеся подобные треугольники.

Решение

Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей, B и C — указанные точки касания (AB = 6, AC = 8). Поскольку треугольник BAC прямоугольный (угол A — прямой), то BC = 10.

Пусть M — основание перпендикуляра, опущенного из O₂ на AC. Из подобия треугольников O₂MC и CAB находим, что

O₂C = BC ^. = 10 ^. = .

Аналогично находим, что O₁B = .

Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей, B и C — указанные точки касания (AB = 6, AC = 8). Поскольку треугольник BAC прямоугольный (угол A — прямой), то BC = 10.

Пусть M — основание перпендикуляра, опущенного из O₂ на AC. Из подобия треугольников O₂MC и CAB находим, что

O₂C = BC ^. = 10 ^. = .

Аналогично находим, что O₁B = .

Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей, B и C — указанные точки касания (AB = 6, AC = 8). Поскольку треугольник BAC прямоугольный (угол A — прямой), то BC = 10.

Пусть M — основание перпендикуляра, опущенного из O₂ на AC. Из подобия треугольников O₂MC и CAB находим, что

O₂C = BC ^. = 10 ^. = .

Аналогично находим, что O₁B = .

Ответ

; .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	370