Задача 52715

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Три окружности радиусов 1, 2 и 3 касаются друг друга внешним образом. Найдите радиус окружности, проходящей через точки касания этих окружностей.

Решение

  Пусть C, B и A – центры окружностей радиусов 1, 2 и 3 соответственно (рис. слева). Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, значит, точки M, N и K касания окружностей лежат на сторонах треугольника ABC. Пусть точка K лежит на отрезке AC, точка M – на отрезке AB, точка N – на отрезке BC. Тогда  AB = 5,  AC = 4,  BC = 3.
  Треугольник ABC прямоугольный, так как  AC² + BC² = AB²,  значит, радиус его вписанной окружности равен  ½ (AB + BC – AB) = 1.
  Докажем, что окружность, проходящая через точки K, M, N, и есть вписанная окружность треугольника ABC. Действительно, если вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AB в точке M₁ (рис. справа), то AM₁ = 4 – 1 = AM,  значит, точка M₁ совпадает с точкой M. Аналогично доказывается, что вписанная окружность треугольника ABC касается его сторон AC и BC соответственно в точках K и N.

                   

Ответ

1.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	380