Задача 52718

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В равносторонний треугольник вписана окружность. Этой окружности и сторон треугольника касаются три малые окружности. Найдите сторону треугольника, если радиус малой окружности равен r.

Подсказка

Опустите перпендикуляр из центра одной из меньших окружностей на радиус большей окружности, проведённый в точку касания со стороной рассматриваемого угла.

Решение

Пусть R — радиус окружности, вписанной в данный треугольник. Опустим перпендикуляр из центра меньшей окружности на радиус большей окружности, проведённый в точку касания со стороной рассматриваемого угла. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой R + r, катетом R - r и углом в 30^o, противолежащим этому катету. Поэтому R + r = 2(R - r). Отсюда находим, что R = 3r. Следовательно, сторона треугольника равна 6r.

Ответ

6r.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	383