Задача 52722

Темы:    [ Признаки и свойства касательной ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На окружности радиуса r выбраны три точки таким образом, что окружность оказалась разделенной на три дуги, которые относятся как 3:4:5. В точках деления к окружности проведены касательные. Найдите площадь треугольника, образованного этими касательными.

Подсказка

Найдите углы треугольника.

Решение

Угловые величины полученных дуг равны

^. 360^o = 90^o,  ^. 360^o = 120^o,  ^. 360^o = 150^o.

Поэтому углы треугольника равны 90^o, 60^o и 30^o. Тогда меньший катет равен r( + 1), а больший — r( + 3).

Ответ

r²(2 + 3).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	387