ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52730
Темы:    [ Подобные фигуры ]
[ Описанные четырехугольники ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Трапеция разделена на три трапеции прямыми, параллельными основаниям. Известно, что в каждую из трёх получившихся трапеций можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, вписанной в среднюю трапецию, если радиусы окружностей, вписанных в две оставшиеся, равны R и r.


Подсказка

Отношение соответствующих элементов подобных фигур равно коэффициенту подобия.


Решение

Пусть NM — большее основание нижней трапеции MBCN, A — точка пересечения прямых MB и NC. Обозначим через x искомый радиус. Тогда паре окружностей, расположенных в треугольнике ABC, соответствует пара окружностей, расположенных таким же образом в подобном ему треугольнике AMN. Поэтому $ {\frac{r}{x}}$ = $ {\frac{x}{R}}$, откуда x2 = rR.


Ответ

$ \sqrt{Rr}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 395

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .