Информация о задаче

Задача 52739

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
Темы:	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В прямоугольной трапеции лежат две окружности. Одна из них, радиуса 4, вписана в трапецию, а вторая, радиуса 1, касается двух сторон трапеции и первой окружности. Найдите площадь трапеции.

Подсказка

Определите положение второй окружности и найдите значения тригонометрических функций половины угла при основании трапеции.

Решение

Пусть O — центр окружности, вписанной в данную трапецию ABCD с основаниями AB и CD и боковыми сторонами AD и BC (AD < BC, DC < AB). Ясно, что вторая окружность касается большей боковой стороны BC.

Обозначим через $\alpha$ угол ABC. Тогда, опустив перпендикуляр O₁K из центра второй окружности на радиус первой, проведённый в точку M её касания с BC, найдем:

sin $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ , cos $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{5}}$ , tg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ .

Из треугольника BOM находим, что BM = ${\frac{16}{3}}$ . Следовательно,

CM = 3, BC = $\displaystyle {\textstyle\frac{25}{3}}$ .

Ответ

${\frac{196}{3}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	404