Задача 52743

Темы:    [ Формула Герона ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC на стороне AC взята точка D так, что окружности, вписанные в треугольники ABD и BCD, касаются. Известно, что AD = 2, CD = 4, BD = 5. Найдите радиусы окружностей.

Подсказка

Примените формулу Герона.

Решение

Пусть M — точка касания окружностей, DM = x. Тогда

AB = 7 - 2x, BC = 9 - 2x.

Выразим через x площади треугольников ABD и BCD по формуле Герона. Отношение площадей равно = . Из полученного уравнения находим, что x = 1.

Радиусы вписанных окружностей найдём, разделив площади треугольников ABD и BCD на их полупериметры.

Ответ

; .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	408