Задача 52762

Темы:    [ Хорды и секущие (прочее) ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

На плоскости дан прямой угол. Окружность с центром, расположенным вне данного угла, касается биссектрисы прямого угла, пересекает одну из его сторон в точках A и B и продолжение другой стороны в точках C и D.  AB = ,  CD = 1.  Найдите радиус окружности.

Решение

Пусть K – вершина данного прямого угла, M – точка касания с биссектрисой, O – центр окружности, R – её радиус, P и Q – проекции точки O на AB и CD, L – точка пересечения OM и AB. Тогда   OQ² = R² – ¼,  PL² = OP² = R² – ⁷/₄.  Заметим, что    или    (4R² – 1)(4R² – 7) = 16,  4R² = 9.

Ответ

1,5.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	427