Задача 52772

Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Описанные четырехугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В выпуклый четырёхугольник ABCD вписана окружность с центром в точке O, причём  AO = OC,  BC = 5,  CD = 12,  а угол DAB прямой.
Найдите площадь четырёхугольника ABCD.

Подсказка

Докажите равенство треугольников DAB и DCB.

Решение

Пусть M и N – точки касания вписанной окружности со сторонами AB и BC соответственно. Треугольники AMO и CNO равны по катету и гипотенузе. Поэтому  AM = CN,  а так как  BM = BN,  то  AB = BC = 5.  Аналогично  AD = DC = 12.  Поэтому треугольники DAB и DCB равны по трём сторонам. Следовательно,
S_ABCD = 2S_DAB = 60.

Ответ

60.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	437