Задача 52775

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Углы между биссектрисами ] [ Биссектриса делит дугу пополам ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BE, пересекающиеся в точке O. Известно, что  OE = 1,  а точки C, D, E и O лежат на одной окружности. Найдите стороны и углы треугольника EDO.

Подсказка

CO – биссектриса угла C.

Решение

  Поскольку биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то CO – биссектриса угла C. Поэтому  OD = OE = 1.
  Обозначим  ∠C = α.  Тогда   ∠DOE = 90° – ^α/₂  (см. задачу 55448).
  Поскольку четырёхугольник CEOD вписанный, то  90° – ^α/₂ = ∠DOE = 180° = 180° – ∠ECD = 180° – α . Отсюда  α = 60°.  Следовательно,  ∠DOE = 120°,
∠DEO = ∠EDO = 30°,  DE = .

Ответ

1, 1,  ,  120°, 30°, 30°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	440