Задача 52776

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Через точку A окружности радиуса 10 проведены две взаимно перпендикулярные хорды AB и AC.
Вычислите радиус окружности, касающейся данной окружности и построенных хорд, если  AB = 16.

Решение

  Пусть O – центр первой окружности, K – середина AB.
  Из прямоугольного треугольника ABC находим, что AC = 12. Заметим, что вершина O₁ квадрата AKO₁N находится на расстоянии 8 как от прямых AB и AC, так и от первой окружности  (OO₁ = 8 – 6 = 10 – 8).  Следовательно, O₁ – центр второй окружности, а её радиус равен 8.

Ответ

8.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	441