Информация о задаче

Задача 52781

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Трапеция ABCD с основаниями BC = 2 и AD = 10 такова, что в неё можно вписать окружность и около неё можно описать окружность. Определите, где находится центр описанной окружности, т.е. расположен он внутри или вне её, или же на одной из сторон трапеции ABCD. Найдите также отношение радиусов описанной и вписанной окружностей.

Подсказка

Докажите, что угол ACD — тупой. Радиус описанной окружности найдите по формуле: R = ${\frac{a}{2\sin \alpha}}$ .

Решение

Пусть R и r — радиусы вписанного и описанного кругов, K — основание перпендикуляра, опущенного из вершины C на сторону AD. Поскольку трапеция вписанная, то она равнобедренная. Тогда AK = 6, KD = 4, а т. к. 2^.CD = BC + AD, то CD = 6. Отсюда находим, что

CK = 2 $\displaystyle \sqrt{5}$ , AC = 2 $\displaystyle \sqrt{14}$ .

С помощью теоремы косинусов убеждаемся, что угол $\angle$ ACD тупой. Поэтому центр описанного круга лежит вне трапеции. Кроме того,

sin $\displaystyle \angle$ D = $\displaystyle {\frac{CK}{CD}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{5}}{3}}$ .

Поэтому

R = $\displaystyle {\frac{AC}{2\sin \angle D}}$ = $\displaystyle {\frac{3\sqrt{14}}{5}}$ , r = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ CK = $\displaystyle \sqrt{5}$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{R}{r}}$ = $\displaystyle {\frac{3\sqrt{14}}{5}}$ .

Ответ

Вне; ${\frac{3\sqrt{14}}{5}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	446