Задача 52784

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Формула Герона ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На отрезке AC дана точка B, причём  AB = 14,  BC = 28.  На отрезках AB, BC, AC как на диаметрах построены полуокружности в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите радиус окружности, касающейся всех трёх полуокружностей.

Подсказка

Примените формулу Герона или теорему Пифагора.

Решение

Пусть точки O₁, O₂ и O – центры данных полуокружностей с диаметрами AB, BC, AC соответственно, x – радиус искомой окружности, O₃ – её центр. Тогда
OO₁ = 14,  OO₂ = 7,  O₁O₃ = 7 + x,  OO₃ = 21 – x,  O₂O₃ = 14 + x.

Первый способ. По формуле Герона  S_OO1O3 = ,  S_OO2O3 = .  Поскольку  S_OO1O3 : OO₂O₃ = OO₁ : OO₂ = 2 : 1,  то
= 2.  Из этого уравнения находим, что x = 6.

Пусть K – проекция точки O₃ точки на AC,  OK = u.  Тогда  (21 – x)² – (7 + x)² = u² – (14 – u)²,  28(14 – 2x) = 14(2u – 14),  2(14 – 2x) = 2u – 14,
(14 + x)² – (21 – x)² = (7 + u)² – u²,  35(2x – 7) = 7(2u + 7),  5(2x – 7) = 2u + 7.  Вычитая, получим  14x – 63 = 21,  откуда  x = 6.

Ответ

6.

Замечания

В общем случае  (AB = 2r,  BC = 2R)  аналогично можно получить формулу  x = ^Rr(R+r)/_R²+Rr+r².

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	449