Задача 52785

Темы:    [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Формула Герона ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Свойства инверсии ] [ Гомотетичные окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

На отрезке AC взята точка B и на отрезках AB, BC, CA как на диаметрах построены полуокружности S₁, S₂, S₃ по одну сторону от AC.
Найдите радиус окружности, касающейся всех трёх полуокружностей, если известно, что её центр удален от прямой AC на расстояние a.

Решение

  Первый способ. Пусть O₁, O₂, O – центры данных полуокружностей S₁, S₂, S₃ соответственно, r и R – радиусы полуокружностей S₁ и S₂, x – радиус искомой окружности, O₃ – её центр. Тогда радиус полуокружности S₃ равен  r + R,  O₁O₃ = r + x,  OO₃ = r + R – x,  OO₁ = R,  O₂O₃ = R + x,  OO₂ = r.
  По формуле Герона  S_OO1O3 = ,   S_OO2O3 = .
  Поскольку  S_OO1O3 = ^aR/₂  и  S_OO2O3 = ^ar/₂,  то  (r + R)(R – x)xr – (r + R)(r – x)xR = ^a²R²/₄ – ^a²r²/₄.  Из полученного уравнения находим, что  x = ^a/₂.

  Второй способ. Рассмотрим инверсию относительно окружности ω с центром A радиуса AC. При этой инверсии точка C останется на месте, окружность S₃, проходящая через центр инверсии, перейдёт в прямую s₃, проходящую через точку C перпендикулярно AC, окружность S₁, проходящая через центр инверсии, – в прямую s₁, параллельную прямой s₃, окружность S₂, не проходящая через центр инверсии, – в окружность s₂, касающуюся параллельных прямых s₃ и s₁, а окружность S, касающаяся окружностей S₁, S₂ и S₃, – в окружность s, касающуюся параллельных прямых s₃, s₁ и окружности s₂. Радиус окружности s равен радиусу окружности s₂.
  Пусть E, Q и P – центры окружностей S, s и s₂ соответственно, M – точка касания окружностей s и s₂, F – проекция точки E на прямую AC  (EF = a),  N – точка пересечения отрезка EF с окружностью S.
  Заметим, что окружности s и S гомотетичны, причём центр гомотетии совпадает с центром A инверсии. При этой гомотетии луч EF переходит в параллельный ему луч QP, луч AF – в себя, точка F – в точку P, а радиус EN окружности – в радиус QM окружности s. Значит,  EN : EF = QM : QP = 1 : 2.  Следовательно,
SN = ½ EF = ^a/₂.

Ответ

^a/₂.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	450