Задача 52791

Темы:    [ Признаки и свойства касательной ] [ Окружность, вписанная в угол ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На основании равнобедренного треугольника, равном 8, как на хорде построена окружность, касающаяся боковых сторон треугольника.
Найдите радиус окружности, если высота, опущенная на основание треугольника, равна 3.

Подсказка

Рассмотрите подобные треугольники.

Решение

  Пусть BC – основание данного равнобедренного треугольника ABC, O – центр окружности. Тогда  AO ⊥ BC  и  BM = MC,  где M – точка пересечения отрезков AO и BC.
  Из прямоугольного треугольника AMC находим, что  AC = 5.
  Из подобия треугольников MCO и MAC следует, что  OC : AC = MC : AM.  Следовательно,  OC = ^AC/_AM·MC = ²⁰/3.

Ответ

²⁰/3.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	456