Задача 52797

Темы:    [ Взаимное расположение двух окружностей ] [ Неравенство треугольника ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Докажите, что наибольшее расстояние между точками двух окружностей, лежащих одна вне другой, равно сумме радиусов этих окружностей и расстояния между их центрами.

Подсказка

С помощью обобщённого неравенства треугольника докажите, что расстояние между любыми двумя точками этих окружностей не больше указанной суммы.

Решение

Пусть O₁ и O₂ — центры данных окружностей радиусов r и R соответственно, а линия центров пересекает окружности соответственно в точках A и B, причём O₁ и O₂ лежат между A и B. Тогда, если X и Y — произвольные точки, лежащие соответственно на первой и второй окружности, то

XY O₁X + O₁O₂ + O₂Y = AO₁ + O₁O₂ + BO₂ = r + O₁O₂ + R,

причём равенство достигается только в случае, когда X совпадает с A, а Y — c B.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	462