Задача 52798

Темы:    [ Взаимное расположение двух окружностей ] [ Неравенство треугольника ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Расстояние между центрами окружностей радиусов r и R равно a, причём a > r + R. Найдите наименьшее из расстояний между точками, одна из которых лежит на первой окружности, а другая — на второй (расстояние между окружностями).

Подсказка

С помощью обобщенного неравенства треугольника докажите, что расстояние между любыми двумя точками этих окружностей не меньше, чем a - r - R.

Решение

Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов r и R соответственно, а линия центров пересекает окружности соответственно в точках A и B, причём A и B лежат между O₁ и O₂. Тогда, если X и Y — произвольные точки, лежащие соответственно на первой и второй окружности, то

XO₁ + XY + YO₂ O₁O₂ = AO₁ + AB + BO₂,

или

r + XY + R r + AB + R.

Следовательно, XY AB = a - r - R, причём равенство достигается только в случае, когда X = A и Y = B.

Ответ

a - r - R.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	463