Информация о задаче

Задача 52808

Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Найдите радиус окружности, которая высекает на обеих сторонах угла, равного $\alpha$ , хорды, равные a, если известно, что расстояние между ближайшими концами этих хорд равно b.

Подсказка

Выразите радиус окружности, описанной около треугольника, через сторону треугольника и синус противолежащего угла.

Решение

Пусть M — вершина данного угла, AB и CD — данные хорды, AC = b, AB = CD = a, R — радиус окружности.

Поскольку MA^.MB = MD^.MC, то AM = CM. Поэтому треугольник AMC -- равнобедренный. Следовательно,

$\displaystyle \angle$ BAC = 180^o - $\displaystyle \angle$ MAC = 90^o + $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

По теореме косинусов

BC² = AB² + AC² - 2AB^.AC cos $\displaystyle \left(\vphantom{90^{\circ}+ \frac{\alpha}{2}}\right.$ 90^o + $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{90^{\circ}+ \frac{\alpha}{2}}\right)$ = a² + b² + 2ab sin $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ ,

R = $\displaystyle {\frac{BC}{2\sin \left(90^{\circ}+ \frac{\alpha}{2}\right)}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{a^{2}+ b^{2}+ 2ab\sin \frac{\alpha}{2}}}{2\cos \frac{\alpha}{2}}}$ .

Ответ

${\frac{\sqrt{a^{2}+ b^{2}+ 2ab \sin \frac{\alpha}{2}}}{2\cos \frac{\alpha}{2}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	473