Информация о задаче

Задача 52816

Темы:	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]
Темы:	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равносторонний треугольник со стороной a вписана окружность. К окружности проведена касательная так, что её отрезок внутри треугольника равен b. Найдите площадь треугольника, отсеченного этой касательной.

Подсказка

Впишите окружность в отсечённый треугольник.

Решение

Полупериметр p отсечённого треугольника равен ${\frac{a}{2}}$ . Впишем окружность в отсечённый треугольник. Расстояние от вершины угла, противоположного стороне, равной b, до ближайшей точки касания с этой окружностью равно

p - b = $\displaystyle {\frac{a}{2}}$ - b = $\displaystyle {\frac{a - 2b}{2}}$ .

Если r — радиус этой окружности, а S — искомая площадь, то

r = $\displaystyle {\frac{a - 2b}{2\sqrt{3}}}$ , S = pr = $\displaystyle {\frac{a\sqrt{3}(a - 2b)}{12}}$ .

Ответ

${\frac{a\sqrt{3}(a - 2b)}{12}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	481