Информация о задаче

Задача 52831

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Ромбы. Признаки и свойства	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Найдите площадь ромба ABCD, если радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC и ABD, равны R и r.

Подсказка

Сторона треугольника равна произведению диаметра описанной окружности на синус противолежащего угла.

Решение

Обозначим $\angle$ BAC = $\alpha$ . Тогда

AB = 2R sin $\displaystyle \angle$ ACB = 2R sin $\displaystyle \alpha$ , AB = 2r sin $\displaystyle \angle$ BDA = 2r sin(90^o - $\displaystyle \alpha$ ) = 2r cos $\displaystyle \alpha$ ,

откуда находим, что tg $\alpha$ = ${\frac{r}{R}}$ .

Поскольку

BD = 2r sin 2 $\displaystyle \alpha$ , AC = 2R sin 2 $\displaystyle \alpha$ ,

то

S_ABCD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BD^.AC = 2Rr sin²2 $\displaystyle \alpha$ .

Поскольку

sin 2 $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{2{\rm tg }\alpha}{1+{\rm tg }^{2}\alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{2rR}{R^{2} + r^{2}}}$ ,

то

S_ABCD = 2Rr sin²2 $\displaystyle \alpha$ = 2Rr^. $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{2rR}{R^{2} + r^{2}}}\right.$ $\displaystyle {\frac{2rR}{R^{2} + r^{2}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{2rR}{R^{2} + r^{2}}}\right)^{2}_{}$ = $\displaystyle {\frac{8r^{3}R^{3}}{( r^{2} + R^{2})^{2}}}$ .

Ответ

${\frac{8r^{3}R^{3}}{(r^{2} + R^{2})^{2}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	497