Задача 52843

Темы:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Хорды и секущие (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В окружности проведены три попарно пересекающиеся хорды. Каждая хорда разделена точками пересечения на три равные части.
Найдите радиус окружности, если одна из хорд равна a.

Подсказка

Докажите, что все три хорды равны между собой.

Решение

  Из теоремы о произведениях отрезков пересекающихся хорд следует, что все три хорды равны между собой. Поэтому точки пересечения хорд – вершины правильного треугольника со стороной ^a/₃. Поскольку равные хорды равноудалены от центра окружности, то центр O этого треугольника совпадает с центром данной окружности. Расстояние от точки O до каждой хорды равно .  По теореме Пифагора квадрат искомого радиуса равен  (^a/₂)² + ^3a²/_18² = ^7a²/₂₇.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	509