Задача 52844

Тема:    [ Теорема косинусов ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Найдите сумму квадратов расстояний от точки M, взятой на диаметре некоторой окружности, до концов любой из параллельных этому диаметру хорд, если радиус окружности равен R, а расстояние от точки M до центра окружности равно a.

Подсказка

Примените теорему косинусов.

Решение

Пусть O — центр окружности. AB — произвольная хорда, параллельная данному диаметру. Обозначим BOM = . Тогда AOM = 180^o - .

По теореме косинусов из треугольников BOM и AOM находим, что

BM² = a² + R² - 2aR cos,

AM² = a² + R² - 2aR cos(180^o - ) = a² + R² + 2aR cos.

Сложив почленно эти равенства, получим, что

BM² + AM² = 2(a² + R²).

Ответ

2(a² + R²).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	510