Информация о задаче

Задача 52855

Темы:	[	Шестиугольники	]
Темы:	[	Вписанные и описанные многоугольники	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В шестиугольнике ABCDEF известно, что AB || DE, BC || EF, CD || FA и AD = BE = CF. Докажите, что около этого шестиугольника можно описать окружность.

Подсказка

Найдите сумму всех внутренних углов данного шестиугольника.

Решение

Поскольку AF || CD и AD = CF, то четырёхугольник CDF — равнобедренная трапеция или прямоугольник. Поэтому

$\displaystyle \angle$ FCD = $\displaystyle \angle$ ADC = $\displaystyle \angle$ DAF = $\displaystyle \angle$ CFA = $\displaystyle \alpha$ .

Аналогично выводится равенство двух других четвёрок углов. Обозначим их $\beta$ и $\gamma$ . Поскольку

4 $\displaystyle \alpha$ + 4 $\displaystyle \beta$ + 4 $\displaystyle \gamma$ = 4 $\displaystyle \pi$

то

$\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle \pi$ .

Тогда $\angle$ CDA = $\pi$ - $\angle$ CBA и точка D лежит на окружности, проходящей через точки A, B и C. Далее аналогично.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	522