Информация о задаче

Задача 52856

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]
	[	Углы между биссектрисами	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Пусть M — точка пересечения биссектрис внутреннего угла B и внешнего угла C треугольника ABC, а N — точка пересечения биссектрис внешнего угла B и внутреннего угла C. Докажите, что середина отрезка MN лежит на окружности, описанной около треугольника ABC.

Подсказка

Докажите, что из середины отрезка MN сторона BC видна под углом, равным углу BAC.

Решение

Пусть P — середина MN. Поскольку $\angle$ NBM = $\angle$ NCM = 90^o, то точки M, N, B и С лежат на окружности с диаметром MN и центром P. Тогда

$\displaystyle \angle$ MNC = $\displaystyle \angle$ MBC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ B, $\displaystyle \angle$ NMB = $\displaystyle \angle$ NCB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ C.

Пусть Q — точка пересечения биссектрис BM и CN. По теореме о внешнем угле треугольника

$\displaystyle \angle$ BQN = $\displaystyle \angle$ MNQ + $\displaystyle \angle$ NMQ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ B + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ C.

Следовательно,

$\displaystyle \angle$ BNC = 90^o - $\displaystyle \angle$ BQN = 90^o - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ B - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ C = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ A.

Поэтому $\angle$ BPC = $\angle$ A, т.е. точка P лежит на окружности, описанной около треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	523