Задача 52871

Темы:    [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Признаки и свойства касательной ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольник вписан полукруг, у которого полуокружность касается основания, а диаметр (с концами на боковых сторонах треугольника) параллелен основанию. Найдите радиус полуокружности, если основание треугольника равно a, а высота h.

Подсказка

Высоты подобных треугольников пропорциональны соответствующим сторонам.

Решение

  Пусть M и N – концы диаметра полукруга, принадлежащие боковым сторонам AB и AC треугольника ABC с основанием  BC = a  и высотой h, R – радиус полукруга.
  Поскольку треугольники AMN и ABC подобны, то   ^h–R/2_R = ^h/_a.  Отсюда  R = ^ah/_a+2h.

Ответ

^ah/_a+2h.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	538