Задача 52874

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки подобия ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна 100, а основание 60, вписана окружность.
Найдите расстояние между точками касания, находящимися на боковых сторонах.

Подсказка

Отрезок, соединяющий точки касания окружности с боковыми сторонами равнобедренного треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

Решение

  Пусть M и N – точки касания окружности с боковыми сторонами AB и AC равнобедренного треугольника ABC, K – точка касания с основанием. Тогда
AM = AB – MB = AB – BK = 100 – 30 = 70.
  Поскольку  AM = AN,  то треугольники AMN и ABC подобны. Поэтому  MN : BC = AM : AB.  Следовательно,  MN = BC·^AM/_AB = 42.

Ответ

42.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	541