Задача 52896

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности делит высоту в отношении  17 : 15.  Основание равно 60. Найдите радиус этой окружности.

Подсказка

Примените свойство биссектрисы треугольника.

Решение

  Пусть M – основание высоты CM равнобедренного треугольника ACB  (AC = CB),  O – центр вписанной окружности. Тогда  AM = ½ AB = 30.
  Поскольку AO – биссектриса треугольника MAC, то  AC : AM = CO : OM,  откуда  AC = 34.  Следовательно,  CM² = AC² – AM² = (34 – 30)(34 + 30) = 16²,
OM = ¹⁵/₃₂ CM = ¹⁵/₂.

Ответ

7,5.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	563