Задача 52901

Темы:    [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Расстояние между центрами двух окружностей, лежащих одна вне другой, равно 65; длина их общей внешней касательной (между точками касания) равна 63; длина их общей внутренней касательной равна 25. Найдите радиусы окружностей.

Подсказка

Опустите перпендикуляр из центра одной окружности на радиус (или его продолжение) другой окружности, проведённый в точку касания с общей внешней (или внутренней) касательной.

Решение

Пусть O₁ и O – центры окружностей, A и B – точки касания с общей внешней касательной, C и D – с внутренней, r и R  (r < R) – радиусы окружностей.
  Опустим перпендикуляры O₁K на OB и OP на продолжение O₁C. Тогда  (R – r)² = OK² = O₁O² – O₁K² = 65² – 63² = 128·2 = 16²,
(R + r)² = O₁P² = O₁O² – OP² = 65² – 25² = 40·90 = 60².

  Из системы  R – r = 16,  R + r = 60  находим, что  R = 38  и  r = 22.

Ответ

38 и 22.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	568