Задача 52903

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Тоом А.Л.

Точка K лежит на стороне BC треугольника ABC.
Докажите, что соотношение  AK² = AB·AC – KB·KC  выполнено тогда и только тогда, когда  AB = AC  или  ∠BAK = ∠CAK.

Подсказка

Опишите окружность вокруг треугольника ABC.

Решение

  Обозначим через D точку пересечения прямой AK с описанной окружностью треугольника ABC и возьмём на отрезке BC такую точку L, что  ∠CAL = ∠KAB  (см. рис.). Поскольку  ∠ACB = ∠ADB,  то треугольник ACL подобен треугольнику ADB, следовательно,  AL·AD = AB·AC.  Кроме того,   BK·KC = AK·KD.  Таким образом, равенство, данное в условии, эквивалентно следующему:  AK² = AL·AD – AK·KD,  или   AK·(AK + KD) = AL·AD.
  Следовательно,  AK = AL.  Это значит, что либо точки K и L совпадают, то есть AK – биссектриса угла A, либо треугольник KAL равнобедренный, и тогда по теореме о внешнем угле треугольника  ∠B = ∠AKC – ∠BAK = ∠ALB – ∠LAC = ∠C,  то есть треугольник ABC – равнобедренный.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	570