Задача 52911

Темы:    [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В окружность вписан четырёхугольник ABCD , диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке E . Прямая, проходящая через точку E и перпендикулярная к BC , пересекает сторону AD в точке M . Докажите, что EM — медиана треугольника AED и найдите её длину, если AB = 7 , CE = 3 , ADB = α .

Решение

Вписанные углы ACB и ADB опираются на одну и ту же дугу, поэтому

ECB = ACB = ADB = α.
Пусть прямые ME и BC пересекаются в точке H . Тогда
DEM = BEH = BCE = α,
поэтому ME=MD . Аналогично, ME=MA . Следовательно, M — середина AD , т.е. EM — медиана треугольника AED .
Из прямоугольных треугольников BCE , ABE и AED находим, что
BE = CE tg α = 3 tg α, AE = =,

AD = = .
Следовательно, EM=AD = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	578