Информация о задаче

Задача 52942

Темы:	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На катете AC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу AB в точке K. Найдите площадь треугольника CKB, если катет AC равен b, а угол ABC равен $\beta$ .

Подсказка

Докажите, что CK перпендикулярно AB.

Решение

Точка K лежит на окружности с диаметром AC. Поэтому CK перпендикулярно AB. Из прямоугольных треугольников AKC и BKC находим, что

CK = AC cos $\displaystyle \angle$ ACK = b cos $\displaystyle \beta$ , BK = CKctg $\displaystyle \angle$ B = b cos $\displaystyle \beta$ ctg $\displaystyle \beta$ .

Следовательно,

S_CKB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ CK^.BK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ b cos $\displaystyle \beta$ ^.b cos $\displaystyle \beta$ ^.ctg $\displaystyle \beta$ =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ b^{2 .}cos² $\displaystyle \beta$ ctg $\displaystyle \beta$ .

Ответ

${\frac{1}{2}}$ b²cos² $\beta$ ctg $\beta$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	609