Информация о задаче

Задача 52946

Темы:	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В окружность с центром O вписан треугольник ABC (A > 90^o). Продолжение биссектрисы AF угла A этого треугольника пересекает окружность в точке L, а радиус AO пересекает сторону BC в точке E. Пусть AH — высота треугольника ABC. Найдите отношение площади треугольника OAL к площади четырёхугольника OEFL, если известно, что AL = 4 $\sqrt{2}$ , AH = $\sqrt{2\sqrt{3}}$ и $\angle$ AEH = 60^o.

Подсказка

Углы при основании равнобедренного треугольника AOL равны 15^o.

Решение

Пусть AC < AB. Поскольку AL - биссектриса угла CAB, то $\cup$ CL = $\cup$ BL. Поэтому CL = BL, а т.к. OC = OB, то точки L и O лежат на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Поэтому OL || AH.

Пусть P — середина BC. Тогда

$\displaystyle \angle$ POE = 90^o - $\displaystyle \angle$ PEO = 90^o - $\displaystyle \angle$ AEH = 90^o - 60^o = 30^o,

$\displaystyle \angle$ HAF = $\displaystyle \angle$ PLA = $\displaystyle \angle$ LAO = 15^o.

Поскольку $\angle$ HAE = 30^o, то точка F лежит между точками H и E.

S_OAL = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AL^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AL^.tg15^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ AL²tg15^o = 8tg15^o,

S_FAE = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AF^.AE sin 15^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^. $\displaystyle {\frac{AH}{\cos 15^{\circ}}}$ ^. $\displaystyle {\frac{AH}{\cos 30^{\circ}}}$ ^.sin 15^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^. $\displaystyle {\frac{2AH^{2}}{\sqrt{3}}}$ ^.tg15^o = 2tg15^o,

S_OEFL = S_OAL - S_FAE = 6tg15^o.

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta OAL}}{S_{OEFL}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{8}{6}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{3}}$ .

Ответ

${\frac{4}{3}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	613