Задача 52977

Темы:    [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC угол A прямой, катет AB равен a, радиус вписанной окружности равен r . Вписанная окружность касается катета AC в точке D.
Найдите хорду, соединяющую точки пересечения окружности с прямой BD.

Решение

  Пусть O – центр вписанной окружности треугольника ABC, E – отличная от D точка пересечения прямой BD с этой окружностью, F – точка касания окружности с катетом AB.
  AFOD – квадрат со стороной r, поэтому  BD² = a² + r².
  По теореме о касательной и секущей  BD·BE = AF²,  откуда  

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	644