Задача 52982

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC к стороне AC проведены высота BK и медиана MB, причём  AM = BM.  Найдите косинус угла KBM, если  AB = 1,  BC = 2.

Подсказка

Докажите, что данный треугольник – прямоугольный.

Решение

Согласно задаче 53377 треугольник ABC – прямоугольный. Далее можно рассуждать по-разному.

Первый способ. AC² = AB² + BC² = 5,  BK = ^AB·BC/_AC = ²/_AC,  cos∠KBM = ^BK/_BM = ⁴/_AC² = ⁴/₅.

Второй способ.  AK : KC = AB² : BC² = 1 : 4,  cos²∠KBM = ^BK²/_BM² = 4 ^BK²/_AC² = 4·^1·4/_(1+4)² = ¹⁶/₂₅.

Ответ

⁴/₅.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	649