Информация о задаче

Задача 52993

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Общая касательная к двум окружностям	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В угол величины 2 $\alpha$ вписаны две касающиеся окружности. Найдите отношение радиуса меньшей окружности к радиусу третьей окружности, касающейся первых двух и одной из сторон угла.

Подсказка

Длина отрезка общей внешней касательной к двум касающимся окружностям радиусов r и R, заключённого между точками касания, равна 2 $\sqrt{rR}$ .

Решение

Пусть r и R — радиусы данных окружностей (r < R), O и Q соответственно — их центры, A и B соответственно — точки касания с одной из сторон угла, x — радиус третьей окружности, C — её точка касания с той же стороной угла.

Поскольку

AB = AC + BC, AB = 2 $\displaystyle \sqrt{rR}$ , AC = 2 $\displaystyle \sqrt{rx}$ , BC = 2 $\displaystyle \sqrt{Rx}$ ,

то

2 $\displaystyle \sqrt{rx}$ + 2 $\displaystyle \sqrt{Rx}$ = 2 $\displaystyle \sqrt{rR}$ .

Из этого уравнения находим, что

x = $\displaystyle {\frac{rR}{(\sqrt{r} + \sqrt{R})^{2}}}$ .

Тогда

$\displaystyle {\frac{r}{x}}$ = $\displaystyle {\frac{(\sqrt{r} + \sqrt{R})^{2}}{R}}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\sqrt{r} + \sqrt{R}}{\sqrt{R}}}\right.$ $\displaystyle {\frac{\sqrt{r} + \sqrt{R}}{\sqrt{R}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\sqrt{r} + \sqrt{R}}{\sqrt{R}}}\right)^{2}_{}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{\sqrt{\frac{r}{R}} + 1}\right.$ $\displaystyle \sqrt{\frac{r}{R}}$ + 1 $\displaystyle \left.\vphantom{\sqrt{\frac{r}{R}} + 1}\right)^{2}_{}$ .

Опустим из точки O перпендикуляр OP на радиус QB. В прямоугольном треугольнике OPQ

OQ = r + R, PQ = R - r, $\displaystyle \angle$ POQ = $\displaystyle \alpha$ .

Поэтому

R - r = (R + r)sin $\displaystyle \alpha$ , или 1 - $\displaystyle {\frac{r}{R}}$ = (1 + $\displaystyle {\frac{r}{R}}$ )^.sin $\displaystyle \alpha$ .

Отсюда находим, что

$\displaystyle {\frac{r}{R}}$ = $\displaystyle {\frac{1 - \sin \alpha}{1 + \sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{\cos^{2} \alpha}{(1+\sin \alpha)^{2}}}$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{r}{x}}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha} + 1}\right.$ $\displaystyle {\frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha}}$ + 1 $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha} + 1}\right)^{2}_{}$ = $\displaystyle {\frac{2(1+\cos \alpha)}{1+\sin \alpha}}$ .

Ответ

${\frac{2(1 + \cos \alpha)}{1 + \sin \alpha}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	660