Информация о задаче

Задача 52996

Темы:	[	Шестиугольники	]
Темы:	[	Вписанные и описанные многоугольники	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В окружность радиуса R вписан шестиугольник ABCDEF. Известно, что $\angle$ A = $\angle$ C = $\angle$ E, AB = a, CD = b, EF = c. Найдите площадь шестиугольника ABCDEF.

Подсказка

Треугольник BDF — равносторонний.

Решение

Пусть R — радиус окружности. Поскольку $\angle$ A = $\angle$ C = $\angle$ E, то хорды BF, BD и DF — равны между собой. Поэтому треугольник BDF — равносторонний. Следовательно,

$\displaystyle \angle$ A = $\displaystyle \angle$ C = $\displaystyle \angle$ E = 120^o, BF = BD = DF = 2R sin 60^o = R $\displaystyle \sqrt{3}$ ,

S_BDF = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ R $\displaystyle \sqrt{3}$ ^.R $\displaystyle \sqrt{3}$ sin 60^o = $\displaystyle {\frac{3R^{2}\sqrt{3}}{4}}$ .

Из треугольника ABF находим, что

sin $\displaystyle \alpha$ = sin $\displaystyle \angle$ AFB = $\displaystyle {\frac{AB}{2R}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{2R}}$ ,

sin $\displaystyle \angle$ ABF = sin(180^o - 120^o - $\displaystyle \alpha$ ) = sin(60^o - $\displaystyle \alpha$ ) =

= sin 60^ocos $\displaystyle \alpha$ - cos 60^osin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\sqrt{3(1 - \sin ^{2}\alpha)}- \sin \alpha}\right.$ $\displaystyle \sqrt{3(1 - \sin ^{2}\alpha)}$ - sin $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \left.\vphantom{\sqrt{3(1 - \sin ^{2}\alpha)}- \sin \alpha}\right)$ =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\sqrt{3 - 3\left(\frac{a}{2R}\right)^{2}}- \frac{a}{2R}}\right.$ $\displaystyle \sqrt{3 - 3\left(\frac{a}{2R}\right)^{2}}$ - $\displaystyle {\frac{a}{2R}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\sqrt{3 - 3\left(\frac{a}{2R}\right)^{2}}- \frac{a}{2R}}\right)$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{12R^{2}- 3a^{2}} - a}{4R}}$ .

Следовательно,

S_ABF = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB^.BF sin $\displaystyle \angle$ ABF = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ a^.R $\displaystyle \sqrt{3}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{12R^{2}- 3a^{2}} - a}{4R}}$ =

= $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{8}}$ (a $\displaystyle \sqrt{12R^{2} - 3a^{2}}$ - a²).

Аналогично находим площади треугольников BCD и DEF.

Ответ

$\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{8}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{a\sqrt{12R^{2} - 3a^{2}}- a^{2} + b\sqrt{12R^{2}-3b^{2}} - b^{2} + c\sqrt{12R^{2}- 3c^{2}} - c^{2}}\right.$ a $\displaystyle \sqrt{12R^{2} - 3a^{2}}$ - a² + b $\displaystyle \sqrt{12R^{2}-3b^{2}}$ - b² + c $\displaystyle \sqrt{12R^{2}- 3c^{2}}$ - c² $\displaystyle \left.\vphantom{a\sqrt{12R^{2} - 3a^{2}}- a^{2} + b\sqrt{12R^{2}-3b^{2}} - b^{2} + c\sqrt{12R^{2}- 3c^{2}} - c^{2}}\right)$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	663