|
|
 |
Условие
В треугольнике ABC угол C – тупой; биссектриса BE угла B делит сторону AC на отрезки AE = 3, EC = 2. Известно, что точка K, лежащая на продолжении стороны BC за вершину C, является центром окружности, проходящей через точки C, E и точку пересечения биссектрисы угла B с биссектрисой угла ACK.
Найдите расстояние от точки E до стороны AB.
Подсказка
Докажите равенство треугольников BKE и BAE.
Решение
Пусть ∠BKE = 2φ, ∠ECK = 2ψ. Тогда ∠CJB = ∠CJE = ½ ∠CKE = φ, ∠KCJ = ½ ∠KCE = ψ.
Угол KCJ – внешний для треугольника ACJ, поэтому ∠CBJ = ∠KCJ – ∠CJB = ψ – φ. Угол KCA – внешний для треугольника ABC, поэтому
∠BAC = ∠KCA – ∠CBA = 2ψ – 2(ψ – φ) = 2φ.
Следовательно, треугольник BKE равен треугольнику BAE. Поэтому KC = KE = AE = 3.
Поскольку точка E лежит на биссектрисе угла ABK, то она равноудалена от сторон угла, поэтому искомое расстояние равно высоте EF равнобедренного треугольника KCE со сторонами KC = KE = 3 и CE = 2.
По формуле Герона Значит,
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 666 |
