Задача 53017

Темы:    [ Параллелограммы ] [ Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам ] [ Проекция на прямую (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD противоположные углы A и C прямые. На диагональ AC опущены перпендикуляры BE и DF. Докажите, что CE = FA.

Подсказка

Опустите перпендикуляр из центра окружности, описанной около данного четырёхугольника, на диагональ AC.

Решение

Поскольку из точек A и C отрезок BD виден под прямым углом, то точки A и B лежат на окружности с диаметром BD. Опустим перпендикуляр OM из центра O этой окружности на диагональ AC. Тогда AM = MC и ME = MF как проекции равных радиусов OB и OD на AC. Следовательно, CE = FA.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	686