Информация о задаче

Задача 53019

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
Темы:	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD угол $\angle$ A = 90^o, а угол $\angle$ C $\leqslant$ 90^o. Из вершин B и D на диагональ AC опущены перпендикуляры BE и DF. Известно, что AE = CF. Докажите, что угол C — прямой.

Подсказка

Докажите, что точка C лежит на окружности, описанной около треугольника BAD.

Решение

Середина O диагонали BD — центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника BAD. Поскольку $\angle$ C $\leqslant$ 90^o, то точка C не может лежать внутри круга. Поэтому точки E и F расположены на отрезке AC.

Опустим из точки O перпендикуляр OH на диагональ AC. Поскольку OB = OD, то HE = HF (проекции равных отрезков), поэтому H — середина AC и OC = OA, т.е. точка C лежит на окружности с диаметром BD. Следовательно, $\angle$ BCD = 90^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	688