Информация о задаче

Задача 53029

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность радиуса 1 + $\sqrt{2}$ описана около равнобедренного прямоугольного треугольника. Найдите радиус окружности, которая касается катетов этого треугольника и внутренним образом касается окружности, описанной около него.

Подсказка

Пусть M и N — точки касания искомой окружности с катетами AC и BC треугольника ABC, Q — центр этой окружности. Тогда четырёхугольник QMCN — квадрат.

Решение

Пусть r — радиус искомой окружности, Q — её центр, M, N — точки касания с катетами соответственно AC и BC треугольника ABC, O — центр описанной окружности, P — точка касания окружностей. Тогда точки O и Q лежат на диаметре CP, а четырёхугольник QMCN — квадрат со стороной r. Поэтому

CQ = r $\displaystyle \sqrt{2}$ , CQ + QP = CP, r $\displaystyle \sqrt{2}$ + r = 2(1 + $\displaystyle \sqrt{2}$ ).

Отсюда находим, что

r = $\displaystyle {\frac{2(1 + \sqrt{2})}{\sqrt{2} + 1}}$ = 2.

Ответ

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	698