Информация о задаче

Задача 53049

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Общая касательная к двум окружностям	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Две окружности радиусов R и r (R > r) касаются внешне в точке C. К ним проведена общая внешняя касательная AB, где A и B — точки касания. Найдите стороны треугольника ABC.

Подсказка

Опустите перпендикуляр из центра меньшей окружности на радиус большей, проведенный в точку касания с общей внешней касательной. Найдите стороны и косинус острого угла получившегося прямоугольного треугольника.

Решение

Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов r и R, A -- точка на первой окружности, B — на второй, K — проекция точки O₁ на BO₂. Тогда

KO₂ = BO₂ - AO₁ = R - r, O₁O₂ = r + R,

AB = KO₁ = $\displaystyle \sqrt{O_{1}O_{2}^{2} - KO_{2}^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{(R + r)^{2} - (R - r)^{2}}$ = 2 $\displaystyle \sqrt{Rr}$ .

Обозначим $\angle$ ABC = ${\frac{1}{2}}$ $\angle$ BO₂C = $\alpha$ . Тогда

cos 2 $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{KO_{2}}{O_{1}O_{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{R - r}{R + r}}$ , cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{1 + \cos 2\alpha}{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{1 + \frac{R - r}{R + r}}{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{R}{R + r}}$ .

Поскольку треугольник ACB — прямоугольный ( $\angle$ C = 90^o), то

BC = AB cos $\displaystyle \alpha$ = 2 $\displaystyle \sqrt{Rr}$ $\displaystyle \sqrt{\frac{R}{R + r}}$ = 2R $\displaystyle \sqrt{\frac{r}{R + r}}$ .

Аналогично находим AC.

Ответ

2 $\sqrt{Rr}$ , 2r $\sqrt{\frac{R}{R + r}}$ , 2R $\sqrt{\frac{r}{R + r}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	718