Информация о задаче

Задача 53050

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Общая касательная к двум окружностям	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Две окружности радиусов R и r (R > r) касаются внешним образом. Найдите радиусы окружностей, касающихся обеих данных окружностей и их общей внешней касательной.

Подсказка

Если данные окружности радиусов r и R касаются общей внешней касательной в точках A и B соответственно, а искомая — в точке C, то либо AC + AB = BC, либо AC + CB = AB.

Решение

Пусть O₁ и O₂ — центры касающихся окружностей радиусов r и R, A и B — их точки касания с общей внешней касательной.

Опустим перпендикуляр O₁K на O₂B и из прямоугольного треугольника O₁KO₂, в котром O₁O₂ = R + r, O₂K = R - r, находим, что O₁K = 2 $\sqrt{Rr}$ . Поэтому и AB = 2 $\sqrt{Rr}$ .

Если x — радиус искомой окружности, которая касается прямой AB в точке C, то аналогично можно доказать, что AC = 2 $\sqrt{rx}$ и BC = 2 $\sqrt{Rx}$ .

Если точка C лежит между A и B, то AC + BC = AB. Тогда, решив уравнение 2 $\sqrt{xr}$ + 2 $\sqrt{Rx}$ = 2 $\sqrt{Rr}$ , получим, что

x = $\displaystyle {\frac{Rr}{(\sqrt{R} + \sqrt{r})^{2}}}$ .

В противном случае точка A лежит между точками B и C (т. к. R > r ). Поэтому соответствующее уравнение примет вид

2 $\displaystyle \sqrt{xr}$ - 2 $\displaystyle \sqrt{Rx}$ = 2 $\displaystyle \sqrt{Rr}$ .

Следовательно, x = ${\frac{Rr}{(\sqrt{R} - \sqrt{r})^{2}}}$ .