Задача 53054

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Из вершины тупого угла A треугольника ABC опущена высота AD. Из точки D радиусом, равным AD, описана окружность, пересекающая стороны треугольника AB и AC в точках M и N соответственно. Найдите сторону AC, если известно, что  AB = c,  AM = m  и  AN = n.

Подсказка

Докажите, что треугольники AMN и ACB подобны.

Решение

Продолжим AD до пересечения с указанной окружностью в точке P. Тогда  ∠AMN = ∠APN,  а так как  ∠ANP = 90°,  то  ∠APN = ∠C.  Поэтому треугольники AMN и ACB подобны. Следовательно,   AM : AC = AN : AB.  Отсюда  AC = AB·^AM/_AN = ^mc/_n.

Ответ

^mc/_n.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	723