Задача 53073

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Три прямые проходят через точку O и образуют попарно углы в 60^o. Из произвольной точки M, отличной от O, опущены перпендикуляры на эти прямые. Докажите, что основания перпендикуляров являются вершинами правильного треугольника.

Подсказка

Основания перпендикуляров, точка M и общая точка прямых лежат на одной окружности.

Решение

Предположим, что точка M расположена, как показано на рисунке. Пусть A₁, A₂, A₃ — проекции точки M на эти прямые.

Поскольку отрезок OM виден из точек A₁, A₂, A₃ под прямым углом, то точки O, M, A₁, A₂, A₃ лежат на окружности с диаметром OM. Тогда

A₂A₁A₃ = A₂OA₃ = 60^o, A₁A₃A₂ = A₁OA₂ = 60^o.

Следовательно, треугольник A₁A₂A₃ — равносторонний.

Аналогично для любого другого положения точки M.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	742