Информация о задаче

Задача 53074

Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
Темы:	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность радиуса R, проведённая через вершины A, B и C прямоугольной трапеции ABCD ( $\angle$ A = $\angle$ B = 90^o) пересекает отрезки AD и CD соответственно в точках M и N, причём AM : AD = CN : CD = 1 : 3. Найдите площадь трапеции.

Подсказка

Докажите, что AD = DC.

Решение

Поскольку DC^.DN = DA^.DM, то ${\frac{2}{3}}$ DC² = ${\frac{2}{3}}$ DA². Поэтому DC = DA.

Обозначим AM = x. Тогда MD = 2x, CD = AD = 3x. Поскольку точка M лежит на окружности с диаметром AC, то CM $\perp$ AD. По теореме Пифагора

CM² = AC² - AM² = CD² - DM².

Поэтому

4R² - x² = 9x² - 4x².

Отсюда находим, что x = ${\frac{R\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$ . Тогда

CM² = 4R² - $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ R² = $\displaystyle {\textstyle\frac{10}{3}}$ 10R².

Следовательно,

S_ABCD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (AD + BC)CM = 2x^.CM =

= $\displaystyle {\frac{2R\sqrt{2}\cdot R\sqrt{10}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}}$ = $\displaystyle {\frac{4R^{2}\sqrt{5}}{3}}$ .

Ответ

${\frac{4\sqrt{5}R^{2}}{3}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	743