|
|
 |
Условие
Прямоугольный треугольник ABC (∠A = 90°) и два квадрата BEFC и AMNC расположены так, что точки E и A лежат по разные стороны от прямой BC, а точки M и B – по одну сторону от прямой AC. Найдите расстояние между центрами квадратов, если AB = a.
Подсказка
Пусть P и Q – центры данных квадратов. Докажите, что точки A, P и Q лежат одной прямой.
Решение
Рассмотрим случай, когда AB > AC. Пусть P – центр квадрата BEFC. Обозначим AC = b. Пусть X – проекция точки F на прямую AC, Y – проекция
точки E на прямую AB, Z — точка пересечения прямых FX и
EY. Тогда AXZY – квадрат со стороной a + b, а P – его центр. Следовательно, ∠CAP = 45°.
Пусть Q – центр второго квадрата. Тогда ∠CAQ = 45°. Поэтому точки A, Q и P лежат на одной прямой, причём в рассматриваемом случае точка Q лежит между точками A и P. Следовательно,
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 746 |
